Czas wolny

Ciąg Fibonacciego, czyli liczby, które tworzą wszechświat.

Pamiętacie te momenty, kiedy w szkole nauczyciel matematyki wygłaszał to banalne zdanie, że matematyka jest wszędzie? Że otacza nas w każdym aspekcie naszego życia, tylko jeszcze tego nie widzimy? No cóż, przynajmniej jedna z moich nauczycielek matematyki powtarzała tak bez przerwy, jednak nigdy nam tego nie pokazała.

Dopiero po przejściu standardowego systemu nauczania, gdy rozpocząłem naukę we własnym zakresie, odkryłem co tak naprawdę kryło się pod tymi banalnymi słowami nauczycielki. Przeglądając publikacje dotyczące głównie informatyki i programowania, trafiałem co i rusz na ciąg Fibonacciego, który zdawał się być nieodłącznym elementem tych dziedzin techniki. W tym artykule postaram się opowiedzieć Wam, co to jest ciąg Fibonacciego i dlaczego jest on tak ważnym elementem całego otaczającego nas świata. Zapraszam w podróż po świecie ciekawej, intrygującej matematyki – królowej nauk.

Zacznijmy od początku

Włoski matematyk, Leonardo Fibonacci żył w latach 1175-1250 i znany jest z wielu prac i twierdzeń matematycznych. Najsłynniejszym odkryciem Fibonacciego było opisanie pewnej prawidłowości ciągu liczb naturalnych, co spowodowało falę dalszych odkryć związanych z tym zjawiskiem.

Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, którego głównym założeniem jest to, że każdy kolejny element ciągu tworzony jest z sumy dwóch poprzednich. Fibonacci opisał dokładnie jeden ciąg, który oparł o metodę tworzenia wyrazów ciągu na podstawie sumy dwóch poprzednich wyrazów ale tak naprawdę każdy ciąg liczbowy możemy stworzyć używając tego samego wzoru.

Pierwsze kilka wyrazów ciągu Fibonacciego:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

Powyższy zestaw liczb Fibonacci zapisał prowadząc badania nad rozmnażaniem się królików. Na tej podstawie, również dzięki obserwacji przyrody powstała graficzna interpretacja ciągu:

Jak działa ta cała magia?

Ciąg Fibonacciego charakteryzuje się kilkoma ważnymi cechami, jedną z nich jest to, że jeżeli podzielimy dowolny wyraz ciągu przez wyraz poprzedzający to otrzymamy przybliżenie liczby 1,618. Czym większy wyraz ciągu, tym dokładniejsze przybliżenie uzyskujemy:

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,615384615…

Całość jest o tyle fascynująca, że liczby należące do ciągu Fibonacciego odnajdujemy w każdym elemencie naszego życia. Poczynając od biologii, poprzez fizykę, muzykę, architekturę a na literaturze kończąc. Przybliżenie liczby 1.618 jest na tyle popularne i obecne w otaczającym nas świecie, że zostało ono uznane za złotą liczbę. Ta zaś wyznacza tzw. złoty podział lub jak kto woli, boską proporcję czyli wyjatkowy stosunek dwóch wielkości.

Gdzie znajdziemy złotą liczbę?

Wszędzie…w muzyce, rejestrując gęstość rozchodzących się fal dźwiękowych, w przyrodzie obserwując skorupy ślimaków, rozkład nasion słonecznika, kolejność i ułożenie liści na łodydze:

ale również wśród dóbr, które wytworzył człowiek: